Relationship of relationship

这是来自mathoverflow的一个问题： 原始的问题是简单的，陈述如下： 问题1：$ f\in C_{c}^{\infty}(B)$，且满足对任意满足：$ \exists n\in N^*$,$ \Delta^n g=0$的函数$ g$,有$ \int_{B}fg=0$,那么$ f=0$。 证明只需注意到所有多项式都满足条件以及weierstrass逼近定理。 人们自然想到将算子$ \Delta$推广到算子 $ \Delta_f=f\Delta$，这将导致如下问题。 问题2$ f\in C_{c}^{\infty}(B)$，且满足对任意满足：$ \exists n\in N^*$,$ (\Delta_f)^n g=0$的函数$ g$,有$ \int_{B}fg=0$,那么$ f=0$。   问题1在分布意义下是这样的： 问题3：$ T$是一个分布，满足对任意$ \exists n\in N^*,\Delta^n g=0$的测试函数空间中的函数$ g\in D(B)$,成立有$ T(g)=0$，则$ T=0$。   同样的问题2也能放入分布的框架下： 问题4$ T…

这个问题其实很简单，我们只需要注意到在仿射变换下$\frac{S_{\Delta}}{S_{Elliptic}}$不变。那么问题会转化为求圆内面积最大的三角形，实际上就是正三角形了。 但是我没想到这一点，实际上我是在圆附近计算保持正三角形，固定一个端点的面积变分的一阶微扰。

the method from algebraic geometry and algebraic topology have a effect on incidence combinatorics this years.espatialy on finite field case.there is some examples of the achievement follow this idea. Dvir-Finite Kakeya conjecture Guth-Katz-Erdos Distance problem there is a example with classical algebraic geometry,cubic curve in fact. Ben Green: $ P\subset R^2$,$ P$ is a set consist with n points. A k-rich line is a line in $ R^2$ which  contain k points of $ P$ $ N_k=$#k-rich lines,$ k\ge…