hxypqr
-
Hausdorff Dimension Of Nodal Set
1. 基本性质,例子 1.1. 例子和基本性质 在这一章的第一节引入了我们的研究对象,一般是一个紧的度量空间$X$装备上了一个同胚 Basic setting: Let $ (M,g)$ be a compact $ C^\infty$ Riemannian manifold of dimension $ n$, let $ \phi_{\lambda}$ be an $ L^2$- normalized eigenfunction of the Laplacian: $ \Delta \phi_{\lambda} = −\lambda^2 \phi_{\lambda}\$ and let:$ N \phi_{\lambda} =\{x:\phi_{\lambda}(x)=0\}$ be its nodal hypersurface. Let $ H^{n−1}(N\phi_{\lambda} )$ denote its $ (n-1)$-dimensional Riemannian hypersurface measure. In this …
-
动力系统笔记
$ T:X\longrightarrow X$ 介绍了三个简单例子,包括$ S_1$上的加倍映射,旋转映射以及$ X_k=\Pi_{n\in Z}\{1,2,…,k\} $上的平移映射。 加倍映射会出现在微分流形中一些函数$ f$的singular point,也就是$ hess f=0$的地方附近的环绕数计算,还有一些scalling变换或者是一些多尺度的问题里。\\ 旋转映射会和旋转数是有理数还是无理数有关,相关的wely准则告诉我们如果是无理数的话会是每个点的轨道均匀分布的,稠密性在动力系统里面说就是这个动力系统是minimal的。相关的问题有sarnack猜想在Torus上的特殊情形,目前半解析的$T^2$情形已经解决,这是最近的工作,后续很多工作在进行,本质困难来自解析数论。\\ 平移映射我不是很懂,第二章中讲的Van der warden定理的证明是一个好例子,动力系统中的回复定理主要是用来刻画这些动力系统内蕴的算术性质的,basic ideal是如下事实:\\ 将一个大的集合分类,同一类有序的出现的存在性。 0.1. Transitivity 这…
-
Bourgain-Sarnak-Ziegler Criterion
Bourgain-Sarnak-Ziegler定理可以视为Vingrodov均值定理的有限版本。
-
k curvature方程的curvature测度和可去奇点的建立
-
Sarnak猜想在skew product上的情形。
Cylinder map: Cylender map:这是一个动力系统$ \Theta=(T,T^2)$,$ T:T^2\longrightarrow T^2 $满足:\\ $ T(x)=x+\alpha,T(y)=cx+y+h(x)$ 因此 $ y_1(n)=T^{n}(x)=x+n\alpha,y_2(n)=T^n(y)=nx+\frac{n(n-1)}{2}\alpha+y+\sum_{n=1}^{N-1}h(x+i\alpha) $ 来自动力系统$ \Theta$中的可观测量是指$ \xi(n)=f(T^n(x))$,其中$ x\in T^2$,$f\in C(T^2)$. 由于Cylender map是零熵的,这个情形下Sarnak猜想成立等价于: $ S(N)=\sum_{n=1}^N\mu(n)\xi(n)=\sum{n=1}^N \mu(n)f(T^nx) $ 满足$ S(N)=o(N)$,由于$ f_{\lambda_1\lambda_2}=e^{2\pi i(\lambda_1 x+\lambda_2 y)}$是$ C(T^2)$的一组基,只需对$ f_{\lamb…
-
随机矩阵与zeta函数的moment估计
-
关于shordinger方程的衰减性估计
-
与调和函数正交的函数是否一定是0
这是来自mathoverflow的一个问题: 原始的问题是简单的,陈述如下: 问题1:$ f\in C_{c}^{\infty}(B)$,且满足对任意满足:$ \exists n\in N^*$,$ \Delta^n g=0$的函数$ g$,有$ \int_{B}fg=0$,那么$ f=0$。 证明只需注意到所有多项式都满足条件以及weierstrass逼近定理。 人们自然想到将算子$ \Delta$推广到算子 $ \Delta_f=f\Delta$,这将导致如下问题。 问题2$ f\in C_{c}^{\infty}(B)$,且满足对任意满足:$ \exists n\in N^*$,$ (\Delta_f)^n g=0$的函数$ g$,有$ \int_{B}fg=0$,那么$ f=0$。 问题1在分布意义下是这样的: 问题3:$ T$是一个分布,满足对任意$ \exists n\in N^*,\Delta^n g=0$的测试函数空间中的函数$ g\in D(B)$,成立有$ T(g)=0$,则$ T=0$。 同样的问题2也能放入分布的框架下: 问题4$ T…
-
包含边长为1的正三角形的椭圆的最小面积
这个问题其实很简单,我们只需要注意到在仿射变换下$\frac{S_{\Delta}}{S_{Elliptic}}$不变。那么问题会转化为求圆内面积最大的三角形,实际上就是正三角形了。 但是我没想到这一点,实际上我是在圆附近计算保持正三角形,固定一个端点的面积变分的一阶微扰。
-
incidence combinatorics
the method from algebraic geometry and algebraic topology have a effect on incidence combinatorics this years.espatialy on finite field case.there is some examples of the achievement follow this idea. Dvir-Finite Kakeya conjecture Guth-Katz-Erdos Distance problem there is a example with classical algebraic geometry,cubic curve in fact. Ben Green: $ P\subset R^2$,$ P$ is a set consist with n points. A k-rich line is a line in $ R^2$ which contain k points of $ P$ $ N_k=$#k-rich lines,$ k\ge…