所谓的Minkowski猜想，就是我们有一个$SL(n,R)$中的一个离散子群。在这里，$SL(n,R)$是所有$n$阶可逆矩阵构成的群，这些矩阵的行列式是1。我对这个猜想感兴趣，是因为它与Lonely Runner Conjecture有一些相似之处。在Lonely Runner Conjecture中，我们也是在高维空间中进行研究，但我们的研究对象是高维空间中的一维子空间。我们希望在这个一维子空间上进行优化问题的研究，而这个优化问题涉及到的是对底空间$S^1$的遍历。
然而，在Minkowski猜想中，我们的底空间并不大，它是$R^n$。我们需要研究的格点空间相当大，它可以看作是$SL(n,R)$模一个离散子群。这个空间的维度大约是$n$的平方，所以我们可以将其视为一个非常大的空间。在这个大空间中，我们需要找到所有的格点，在这个大约是$n$平方维度的空间中，找到对应的最大值。这个最大值实际上是指空间中某个点到最近的若干个顶点的距离的乘积的最大值。我们的目标就是找到这样的一个点，使得这个乘积最大。
我们是要遍历所有的格点，格点的空间大概是$n$平方维度，这个空间面遍历，所有的目标是找到使得某个值最大的点。这个值实际上是空间中某一个点到它离问题最近的若干个顶点的距离的乘积的最大值。我们可以移动这个点，但是实质上，我们想找到的是使得这个值最小的点。这本质上是要找到格点在这个空间中的某种稠密程度，也就是离这个格点某种印象最远的点的距离大概是多少？然后这个猜想就是说这个东西会有控制这个东西的控制，要是当我的结构是所谓的正超正方体的时候，这个东西是$100^n$，除以$2$是合理的，这个是概念之后这个东西的控制是$1^n$除以$2$。我们要做的是寻找最小值，然后再对这个最小值进行最大化。也就是说，我们要在所有的格点中找到一个最大的最小值。
这个问题和Lonely Runner Conjecture在一些方面上有所不同。Lonely Runner Conjecture虽然涉及到局部的分析，但它也有一定的整体性，因为在处理这个问题时，我们需要考虑不同轨道之间的相互作用。然而，Minkowski猜想看起来更像是一个局部的问题。在这个问题中，我们关注的是空间中的每一个点。因为Minkowski猜想的问题是研究的最大值的上界控制，我们需要把这个上界控制住，这就不能用平均值去估计，因为用平均值就反了方向。要控制这个上界，我们就需要去把整个这个空间中随便找一个点，然后去研究这个点离附近的那些格点的距离。
然而，如果从另一个角度来看，这个问题其实可能与格点本身有关系。格点在高维空间中具有非常复杂的结构，类似于一种循环结构。从空间的原点出发，我们可以按照任意顺序选择n个向量，所有这些向量的所有排列都会导致同一个终点。这个终点就是原点的中心对称点，其他所有的点则非常复杂。本质上，我们的目标是找到空间中的任何一个点，使得该点到所有这些复杂点的距离乘积最大。这看起来像是一种对格点整体性质的控制。
然后本质上，它就是要找空间中的任何一个点，离所有这样子构成的所有的点的距离的最大值，我需要对整体上面有一个控制，体积的控制，也是对这个东西整体上的控制。我觉得，它还有某种隐藏的控制，这个隐藏的控制来自于格点，格点来自于Sn，Sn本身是紧的。所以说格点在Sn上分布是什么样的一个分布会使得这个量最大，是超正方体吗？或者是别的什么东西，这个也是不知道的。
因为这个问题是在高维空间中，有非常复杂的结构。这些点都是放在网格上的，网格本身它是紧的。所以你这个分布是什么样的一个分布会使得这个东西去想，是真的是正方体吗？或者是别的什么东西，这个也是不知道的。我觉得这个问题本质上是关于网格的一个优化问题，所以你应该把这个问题放在网格上面去研究。
这个问题可能与lattice的优化有关。lattice本身是紧凑的，所以我们可能需要研究什么样的lattice结构会使得我们的目标函数达到最大值。因此，从另一个角度上去看这可能是一个在Sn上的点分布的优化问题。可能应该把这个问题放在Sn上面去研究。