$ T:X\longrightarrow X$
介绍了三个简单例子，包括$ S_1$上的加倍映射，旋转映射以及$ X_k=\Pi_{n\in Z}\{1,2,…,k\} $上的平移映射。
加倍映射会出现在微分流形中一些函数$ f$的singular point，也就是$ hess f=0$的地方附近的环绕数计算，还有一些scalling变换或者是一些多尺度的问题里。\\
旋转映射会和旋转数是有理数还是无理数有关,相关的wely准则告诉我们如果是无理数的话会是每个点的轨道均匀分布的，稠密性在动力系统里面说就是这个动力系统是minimal的。相关的问题有sarnack猜想在Torus上的特殊情形，目前半解析的$T^2$情形已经解决，这是最近的工作，后续很多工作在进行，本质困难来自解析数论。\\
平移映射我不是很懂，第二章中讲的Van der warden定理的证明是一个好例子，动力系统中的回复定理主要是用来刻画这些动力系统内蕴的算术性质的，basic ideal是如下事实：\\
将一个大的集合分类，同一类有序的出现的存在性。
0.1. Transitivity
这个性质是指一个动力系统中存在轨道在动力系统中稠密。\\
动力系统往往具有transitivity的性质，加倍映射的例子用二进制分解构造，平移映射构造transitivity point的方法与之雷同，旋转映射情形这是初等的。\\
transitivity会有很多等价的刻画，包括四种：
1.transitivity\\
2.$ U$ open,$ TU=U \Longrightarrow U=\emptyset$或者$ U$是一个稠密集\\
3.$ U,V$开集,$ \exists N\in N^*$,$ T^n U \cap V\neq \emptyset $\\
4.$ \{x\in X|\{T^nx\}_{n\in Z}dense\}$是一个$ G_{\delta}$集合
证明都是标准的，提两个关键点，第一点是注意到$ \cup_{n\in Z}T^n U$这个集合是$T$不变的，第二点是注意到transitive point可以通过选取一组开集集进行描述从而有集合等式：
$ \{x\in X|\{T^nx\}_{n\in Z}dense\}=\cap_{n\in N^*}\cap_{k\in N^*}\cup_{m\in Z} T^mB_{\frac{1}{k}}(x_n) $
0.2. 一个和矩阵有关的例子 定义了一个和矩阵有关的动力系统，并且说明了这个动力系统是transitive的当且仅当底层的矩阵是不可约的，对于矩阵不可约这个概念不熟所以这个例子没有仔细看。
0.3. minimality和Birkhoff回复定理 我认为这部分内容是Pollicott书第一章最有趣的部分。\\
minimality定义是动力系统$ T:X\rightarrow X$所有的点都是transitivity point。\\
也有三个等价定义，其他两个是：\\
$ T$不变集只有$ X$和空集\\
任何开集通过T作用生成的集合是全空间\\
可以看出来这三个定义都是transitivity情形对应定义的加强版。这些证明也是标准的，接下来一个定理表明$ X$这个空间可以在$ T$不变的意义下分解成很多小的空间，每个都是不能再分解的，这个定理的证明的两个关键点是：
1.zorn lemma，2.minimal性质的第二点\\
那么马上我们就可以得到minimality的定理系统满足birkhoff回复定理：\\
$ \exists x\in X,\exists \{n_i\},\lim_{i\to \infty}T^{n_i}x=x $
Birkhoff回复定理在高维情形也会很有趣，我们这时就需要多个可交换的动力系统（为什么一定要可交换？一种解释是可交换大幅降低复杂度）一旦这些动力系统被证明是minimal的，我们用类似的路线建立起以上定理是没有本质困难的。\\
步骤一：建立起transitive的相关定理\\
步骤二：建立起minimal的相关定理\\
步骤三：说明$ T^i$不变的集合满足zorn lemma，所以有最小元\\
整个过程在乘积空间中进行
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1. Birkhoff回复定理蕴含Van Der Warden定理 1.1. Van Der Warden定理与它的动力系统解释 这是一个组合定理，原始证明是很trick的，单遵老先生有一个证明，很trick，高中的时候尝试过证明，自己证了一个星期证明不出来就看掉了，现在回想起来应该跟当时的工具太原始了有关系。我想强调的是并不是数学思想的飞跃，而是数学工具的升级使得这个问题变简单了。\\
原始问题是将$ N^*$分成若干个类，一定存在一个类存在任意长等差数列。\\
怎么转化成一个组合问题呢，其实用第一章中的$ X_k$装备上平移这个同胚构成的动力系统就够了，等差数列的存在性等价于若干个可以交换的映射，其实就是平移的步长不一样下的都回到原始值附近，这是birkhoff回复定理能够告诉我们的。\\
关于细节的建立
第一步是简单的，问题出在第二步，也就是证明整个动力系统是minimal的这一步上，我们知道这个动力系统是初始状态通过平移生成再取闭包得到的，所以天然是transitivity的，如果是minimality的，那么就可以用birkhoff定理得到结果了。这其实不难，因为这个距离空间是non-archimeadian的，用初始状态的平移去逼近就好了。\\
上面这一段划去，实际上要想真正建立一个动力系统本身是minimal的性质，本质上需要比连续性更强的某种正则性，比如一个lipchitz连续性的动力系统就是minimal的。但是仅仅找到一个紧集是minimal的时简单是事情，用minimal等价定义第二条加zorn引理就可以做到。好了现在我们有了一个minimal的动力系统，我们只需要建立多重birkhoff回复定理就完成了证明。\\
在思考多重birkhoff回复定理的过程中我发现了几种方式来构建整个框架，pollicott上标准的证明是利用乘积空间的对角线作为低空间加上归纳法，我尝试过将对角线作为低空间证明但是失败了，主要原因是对角线在乘积空间中是低维子集我不知道怎么将合适映射限制到这个空间上，事实也证明做归纳法的话我们可以转而对映射而不是空间做文章而规避这个困难。\\
但是在这个过程中我发现了另外一个有意思的现象，就是我们可以归纳的构造出一个集合，至少有限步的构造在逻辑上式对的，利用算子$ T^i$之间的交换性得到一个很好地X的子空间，$ T^i$在上面的作用也有很好的性质，但是还不够好。具体的说，是一种纤维结构的空间，$ T^1$在底空间上作用是transitive的，$ T^2$在第一层纤维上的作用是transitive的，依次类推。由于交换性可以导致在每一个section上$ T^i$的作用都是trsnsitive的。但是不好的地方在于每个$ T^i$想要在全空间中transitive都必须借助别的$ T^i$，换而言之每个$ T^i$都只管一层。所以这并不是我们想要的空间。\\
这样构造出来的空间在这里可能没有用，但是这个空间本身具备很好的性质，而就算我们知道多重回复定理这样的空间也是构造不出来的，注意我们并不是因为构造了一个$ T^i$在上面”一致的”transitivity的空间而把回复定理证明出来了，而是用了一些更弱的argument达到目的。这个空间可能在计算全空间上某些可交换的映射的特征时有用，尤其在可以证明这个空间和全空间只差一个零测集的情况下。\\
猜想：存在一个$ T^i:X\longrightarrow X $,$T^iT^j=T^jT^i$，并不存在满足某种”一致”minimal的子空间。但是我们知道多重回复定理是对的。\\
总之用归纳的方法加上一些拓扑的标准的方法我们可以得到多重回复定理从而完成证明。
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2. 拓扑熵 拓扑熵的定义可复杂了，拓扑熵是一个描述拓扑动力系统复杂程度的量。顺序是先引入标准定义和基本性质，然后给出一个计算方法，再然后引入spanning set和separeting set，利用这两种集合引入等价的定义方法，再证明amernov定理：$ h(T^m)=mh(T)$,最后证明动力系统之间的半共轭会导致熵之间的不等式。
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$f(x),g(x)\in C_{c}^{\infty}(R^n)$
\[f*g(x)=\int_{R^n}f(\xi)g(x-\xi)d\xi \]
\[x=(x_1,x_2,…,x_n)\in R^n\]
\[g(x)=\frac{1}{x_1^2+x_2^2…+x_n^2+1}\]
\[f*g(x)=\int_{R^n}f(\xi)g(x-\xi)d\xi\sim\sum_{k_1=-\infty}^{\infty}…\sum_{k_n=-\infty}^{\infty}\frac{f(x_1-k_1,x_2-k_2,…,x_n-k_n)}{k_1^2+k_2^2+…+k_n^2+1} \]
\[\sum_{k_1=-\infty}^{\infty}…\sum_{k_n=-\infty}^{\infty}\frac{f(x_1-k_1,x_2-k_2,…,x_n-k_n)}{k_1^2+k_2^2+…+k_n^2+1}=\sum_{\xi\in Z^n}f(x-\xi)g(\xi)=\int_{\xi\in R^n}f(x-\xi)\delta g(\xi) d\xi\]\\
(Young inequality)
$f\in L_1(R^n)$,$g\in L^p(R^n)$:
\[ ||f*g||_{p}\leq ||f||_1||g||_{p} \]
(hardy-litterwood-soblev inequality)
$p,r>1$,$0<\lambda<n$,$\frac{1}{p}+\frac{\lambda}{n}+\frac{1}{r}=2$,$f\in L^p(R^n),h\in L^r(R^n)$.exists a constant C,$C\sim n,\lambda,p$.
\[|\int_{R^n}\int_{R^n} f(x)|x-y|^{\lambda}g(y)dxdy|\leq C(n,\lambda,p)||f||_p||h||_r\]
3. 热核正则性
$ t \to 0^+$情况的技巧
gap太多了，主要集中在两条，第一条是需要研究billiard上热核的正则性，这需要建立大量的耗散性先验估计。连续是显然的，我目前连C1都证明不出来，因为其中需要处理一个级数和。如果这一条对了，那么我们集中看t趋于0正时的热核。
4. Caldron Zygmund算子的谱
我们需要刻画Caldron Zygmund算子作用在某个区域上之后产生的谱会携带多少区域的形状的信息。通过在热核中令$ t\longrightarrow 0$这个会化简为简单的情况，再加上凸性。
第二条是热核对t求任意次导以后是Caldero ́ n Zygmund算子，对这个算子卷积上一个具备$ C^1$Boudary正则性的区域上特征函数的的谱我们有没有好的刻画，这其中能不能蕴含这个区域的几何信息。